解题模型一

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（1）如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A；

（2）如图2，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；

（3）如图3，若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=∠A．

图1 图2 图3

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针对训练

1.（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）

A．15°              B．17.5°           C．20°           D．22.5°

【小结】本题若不套用模型，则需要通过三角形的外角性质证明得到∠A、∠D的数量关系.

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2.（2018•巴中）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=　  　．

【分析】由解题模型一中的（1）可知，∠BOC=90°+∠A，把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．

【详解】∵∠BOC=90°+∠A，∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°.∴∠A=40°．

【小结】本题若不套用模型，需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到∠BOC、∠A的数量关系.

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3.（2018•济南历城区模拟）如图，BA₁和CA₁分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA₂是∠A₁BD的角平分线，CA₂是∠A₁CD的角平分线，BA₃是∠A₂BD的角平分线，CA₃是∠A₂CD的角平分线，若∠A₁=α，则∠A₂₀₁₈=　     　．

【详解】∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，

∴∠A₁BC=∠ABC，∠A₁CD=∠ACD，

又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，

【小结】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键。

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