2.8字模型

一、8字模型

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模型 1 角的“8”字模型

如图所示，AC、BD 相交于点 O， 连接 AD、BC。

结论：∠A+∠D=∠B+∠C。

证明：在△AOD和△BOC中，∠AOD=∠BOC（对顶角）

又∵∠A+∠D+∠AOD=∠B+∠C+∠BOC=180°

∴∠A+∠D=∠B+∠C

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模型分析

8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

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模型实例

观察下列图形，计算角度：

（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= _____；

（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= _____。

模型精练

1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=____ ；

（2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= ______。

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模型 2 边的“8”字模型

如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC。

结论：AC+BD>AD+BC。

证明：在△AOD中，AO+OD>AD

在△BOC中，BO+OC>BC

∴AC+BD=(A0+OC)+(B0+OD)>AD+BC

∴AC+BD>AD+BC

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模型实例

如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。

求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；

模型3 相似8字模型（又称X字型）

⑴ 如图8型，对顶角的对边平行，则△ADE∽△ABC；

⑵ 如图反8型，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC.

已知：∠1=∠2，

结论：△ADE∽△ABC

证明：如图∠1=∠2，又∠DAE=∠BAC（对顶角）

∴∠E=∠C（∠D=∠B）

∴△ADE∽△ABC（AAA）

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模型分析

在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得到8字形相似（有时得到A字形相似，后面会讲到），在做题时，我们也常常关注题目中由平行线产生的相似三角形。

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以下题目由沈阳数学高老师提供

模型例题：如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E.⑴ 求证：△ABD∽△CED；⑵ 若AB=6，AD=2CD，求BE的长.

练习：

1. 如图7，点P是□ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　）

　   A． 0对              B． 1对               C． 2对               D． 3对

2．如图8，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则线段ON的长为（　　）

　  A．     　　　    B．   　　        C．1  　　            D．

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图7 图8 图9

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3. 如图9，在□ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于（ ）

A.1∶4                 B.1∶3               C.2∶3                  D.1∶2