6.角平分线模型，角平分线+平行线

角平分线模型

模型 4 角平分线+平行线

如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。

结论：△POQ 是等腰三角形。

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模型证明

∵PQ∥ON

∴∠PON=∠OPQ

又∵OP 是∠MON 的平分线

∴∠POQ=∠PON

∴∠POQ=∠OPQ

∴△POQ是等腰三角形

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模型分析

有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

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模型实例

解答下列问题：

（1）如图①所示，在△ABC 中，EF∥BC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分∠

ABC、∠ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系；

（2）如图②所示，BD 平分∠ABC、CD 平分∠ACG，DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC

于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。

（3）如图③所示，BD、CD 分别为外角∠CBM、∠BCN 的平分线，，DE∥BC 交

AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什

么数量关系？

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解析：（1）由模型可知，ED=BE,DF=CF

∴EF=ED+DF=BE+CF

      .

∴∠EDB=∠DBC

又BD 平分∠ABC

∴∠DBE=∠DBC

∴∠EDB=∠DBE

∴△EBD为等腰三角形

∴BE=ED

同理可证：FD=CF

∴EF=ED-FD=BE-CF

∴EF=BE-CF

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（3）EF=BE+CF（由模型可轻松证明）

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模型练习

1．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为 。

解析：由模型可得，ME=BM,EN=CN

∴MN=ME+EN=BM+CN=9

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求证：EF∥AB。

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解析：

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3．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在 CD 上， 且 AE 平分∠BAD，BE 平分∠ABC。

求证：AD=AB-BC。