4.角平分线模型，截取构造对称全等

角平分线模型

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模型 2 截取构造对称全等

如图，P 是∠MON 的角平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON

上截取 OB=OA，连接 PB。

结论：△OPB≌△OPA。

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模型证明：

∵OP 是∠MON 的角平分线

∴∠AOP=∠BOP，OP=OP

又OA=AB

∴△OPB≌△OPA

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模型分析

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得

到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使

用的一种解题技巧。

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模型实例

（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点

A 的任意一点，试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由；

（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较

PC-PB 与 AC-AB 的大小，并说明理由。

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解:（1）如图在BA的延长线上取点E使AE=AC，连接PC

由角平分线模型2可证△APC≌△APE

∴PC=PE

∴在△PBE中有

PC+PE>BE=AB+AE

∴PB+PC>AB+AC

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∵∠BAP=∠EAP,AP=AP,AE=AB

∴△BAP≌△EAP

∴PB=PE

在△PEC中，PC-PB=PC-PE>EC=AC-AE=AC-AB

∴PC-PB>AC-AB

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模型练习

1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。

求线段 BC 的长。

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解：如图在CB上取一点E使CE=CA，则有

CD=CD，∠ACD=∠ECD

∴△ACD≌ECD

∴AD=DE=8

∴∠A=∠CED=2∠B

又∠CED=∠B+∠BDE

∴∠B=∠BDE

∴△BDE为等腰三角形

∴DE=BE=8

又CE=CA=16

∴BC=BE+EC=24

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2．已知，在△ABC 中，AB=AC，∠A=108°，BD 平分∠ABC。

求证：BC=AB+CD。

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解：如图在BC上取一点E使BA=BE,则

BD=BD,∠ABD=∠EBD

∴△ABD≌△EBD

∴AB=EB，∠DEB=108°

又∠C=36°

∴∠CDE=∠CED=72°

∴CD=CE

∴BC=AB+CD

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3．如图所示，在△ABC 中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延

长 BD 至 E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。

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