3.角平分线的四大模型，角平分线上的点向两边作垂线.
3、角平分线的四大模型
模型 1 ：角平分线上的点向两边作垂线
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。
结论：PB=PA。 
模型证明：
∵OP平分∠MON，
∴∠AOP=∠BOP；
又 PA⊥OM ，PB⊥ON，
∴∠OAP=∠OBP=90°；
OP=OP；
∴RT△OAP≌RT△OBP,
∴PB=PA。
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，
为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的
突破口。
模型实例
（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D
到直线 AB 的距离是_____；
（2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC。
解析：（1）由角平分线模型知，D到AB的距离等于DC=2
（2）如图分别做AB、BC、AC三边的高，由题意易得三边高相等，
∴AP 平分∠BAC
模型练习
1．如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。
证明：如图延长BA，
过D作DE、DF垂直BA延长线、BC于E、F两点，
∵BD 平分∠ABC
∴DE=DF,
又AD=DC
∴RT△DEA≌RT△DFC
∴∠DAE=∠BCD
∴∠BAD+∠BCD=180°
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=——。
