15.半角模型   

半角模型

模型 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

已知如图：

∠2=∠AOB，OA=OB。

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连接FB，将△FOB绕点O旋转

至△F′OA的位置，连接F′E、FE，

可得△OEF′≌△OEF。

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基本模型（1）——正方形内含半角

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。

                                   

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基本模型（2）——等边三角形内含半角

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基本模型（3）——等腰直角三角形内含半角

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模型分析

（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；

（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；

（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。

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核心母题 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.

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变式一：如图，E、F分别是边长为 1的正方形ABCD的边BC、CD上的点,若△ECF的周长是2，求∠EAF的度数?

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变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，AG⊥EF，求证：AG=AB.

                                                               

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综合：在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，

求证：①.∠MAN=②.③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

                                                               

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练习

                                                            

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3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，

                                

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4、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°求证：AD平分∠CDE.

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5、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积．

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6、如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．
（1）求证：EF=BE+DF；
（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，
试探究EF、BE、DF之间的数量关系．

               

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7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PC=2，PB=1．求∠BPC的度数

                                                             

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半角模型

条件：

思路：

（1）、延长其中一个补角的线段

（延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ）   

结论：①MN=BM+DN ② ③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM

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思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明

       M、P、N三点共线.（∠B+∠D=且AB=AD）

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例题应用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①.∠MAN=

                                     ②.

     ③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

                                  

思路同上略.

例1拓展：在正方形ABCD中，已知∠MAN=，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，

①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系.

②.求证：AB=AH.

提示如图：

例2.在四边形ABCD中，∠B+∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.求证：

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   提示：

练习巩固：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD 上的点，且. 求证：EF=BE +DF.

     提示：

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